求二阶线性非齐次微分方程的通解：Y”+36Y=1/cos(6x)（数学）

先求解对应的齐次方程：y”＋36y＝0

为二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为：r²＋36＝0

有一对共轭复根：r＝±6i

∴齐次方程的通解为：y＝C1cos6x＋C2sin6x

根据常数变易法,设非齐次方程的一个特解为：y*＝u1(x)cos6x＋u2(x)sin6x

有y*’＝－6u1sin6x＋6u2cos6x＋u1’cos6x＋u2’sin6x

根据定理,y＝C1cos6x＋C2sin6x＋y*即为非齐次方程的通解

下面,只要解出u1(x)和u2(x),

y*作为非齐次方程的一个特解,须满足该方程,此方程为关于u1和u2的一个方程

而u1和u2是两个未知函数,则可令其满足另一方程,此方程能使问题简化

可以看出,y*’中含有u1’和u2′,则y*”中必含有u1”和u2”,则原二阶方程又转化成新的二阶方程,为避免此情况,须使得y*’中不含u1’和u2′,即

令u1’cos6x＋u2’sin6x＝0

则y*”＝－36u1cos6x－36u2sin6x－6u1’sin6x＋6u2’cos6x

将y*与y*”代入原方程：y”＋36y＝1/cos6x,有

－36u1cos6x－36u2sin6x－6u1’sin6x＋6u2’cos6x＋36u1cos6x＋36u2sin6x＝1/cos6x

u1’sin6x－u2’cos6x＝－1/(6cos6x)

与u1’cos6x＋u2’sin6x＝0联立,解得：

u1′(x)＝－1/6·tan6x,u2′(x)＝1/6

u1(x)＝∫(－1/6·tan6x)dx＋C1＝1/36·lncos6x＋C1

u2(x)＝∫1/6dx＋C2＝x/6＋C2

由于只需求一特解,积分常数可舍去,即

u1(x)＝1/36·lncos6x,u2(x)＝x/6

∴y＝C1cos6x＋C2sin6x＋y*＝C1cos6x＋C2sin6x＋1/36·lncos6x·cos6x＋x/6·sin6x

答：原方程的通解为y＝C1cos6x＋C2sin6x＋1/36·lncos6x·cos6x＋x/6·sin6x.